Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой: если от­ре­зок АВ виден из точек С и D, ле­жа­щих по одну сто­ро­ну от пря­мой АВ, под одним и тем же углом, то точки А, В, С, D лежат на одной окруж­но­сти (см. рис.). А тогда ∠ABD = ∠ACD как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу AD. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Про­ве­дем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BOC и AOD, углы BCA и BDA равны по усло­вию, углы BOC и AOD равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки BOC и AOD по­доб­ны. От­ку­да Ра­вен­ство можно пред­ста­вить в виде Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABO и COD, углы AOB и COD равны как вер­ти­каль­ные и име­ет­ся ра­вен­ство сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. По­это­му углы ABD и ACD равны.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку ABCD вы­пук­лый и ∠ABD = ∠ACD, по­лу­ча­ем, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу CD.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку че­ты­рех­уголь­ник ABCD вы­пук­лый и около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность. Зна­чит, как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу ВС.