По свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABC и DCB равны. Так как AB  =   тре­уголь­ни­ки ABC и DCB рав­но­бед­рен­ные, сле­до­ва­тель­но, BH и CE  — со­от­вет­ству­ю­щие ме­ди­а­ны этих тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, От­ре­зок HE со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции, сле­до­ва­тель­но, и пря­мые HE, AD и BC па­рал­лель­ны, по­это­му, BCEH  — тра­пе­ция. Про­ве­дем HM  — вы­со­ту тра­пе­ции BCEH и AN  — вы­со­ту тра­пе­ции ABCD. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ANC и HMC по­доб­ны, зна­чит,

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD:

Пло­щадь тра­пе­ции

Ответ: 9.

При­ве­дем ре­ше­ние Бог­да­на Яку­ше­ва.

По свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABC и DCB равны. Так как AB  =   тре­уголь­ни­ки ABC и DCB рав­но­бед­рен­ные, сле­до­ва­тель­но, BH и CE  — со­от­вет­ству­ю­щие ме­ди­а­ны этих тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, Пусть CH  =  a, тогда AC  =  2a, и пусть α  — угол между диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей на синус угла между ними, тогда:

Сле­до­ва­тель­но,

По свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABC и DCB равны. Так как тре­уголь­ни­ки ABC и DCB рав­но­бед­рен­ные, сле­до­ва­тель­но, BH и CE  — со­от­вет­ству­ю­щие ме­ди­а­ны этих тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, От­ре­зок HE со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции, сле­до­ва­тель­но, и пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, по­это­му, BCEH  — тра­пе­ция. Про­ве­дем HM  — вы­со­ту тра­пе­ции BCEH и AN  — вы­со­ту тра­пе­ции Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ANC и HMC по­доб­ны, зна­чит,

Пло­щадь тра­пе­ции: ABCD

Пло­щадь тра­пе­ции: BCEH

Ответ: 9.