OГЭ–2026, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 23 № 311566 Добавить в вариант

Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна a. Тогда другая сторона равна 28 − a, а площадь a(28 − a). По теореме Пифагора:

$a в квадрате плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка в квадрате =27 в квадрате равносильно a в квадрате плюс 2a левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка в квадрате =2a левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка плюс 27 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = 2a левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка плюс 27 в квадрате равносильно$ $a в квадрате плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка в квадрате =27 в квадрате равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс 2a левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка в квадрате =2a левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка плюс 27 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = 2a левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка плюс 27 в квадрате равносильно$

$равносильно 28 в квадрате =2a левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка плюс 27 в квадрате равносильно a левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка = дробь: числитель: 28 в квадрате минус 27 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =27,5.$

Значит, искомая площадь равна 27,5.

Ответ: 27,5.

Приведем другое решение.

$a в квадрате плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка в квадрате =27 в квадрате равносильно a в квадрате плюс 784 минус 56a плюс a в квадрате =729 равносильно$
$равносильно 2a в квадрате минус 56a плюс 55=0 равносильно a= дробь: числитель: 56\pm корень из: начало аргумента: 2696 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ $a в квадрате плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка в квадрате =27 в квадрате равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс 784 минус 56a плюс a в квадрате =729 равносильно$
$равносильно 2a в квадрате минус 56a плюс 55=0 равносильно a= дробь: числитель: 56\pm корень из: начало аргумента: 2696 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Заметим, что если одна сторона равна $a= дробь: числитель: 56 плюс корень из: начало аргумента: 2696 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,$ то другая сторона равна $a=28 минус дробь: числитель: 56 плюс корень из: начало аргумента: 2696 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 56 минус корень из: начало аргумента: 2696 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,$ тогда площадь равна

$S= дробь: числитель: 56 плюс корень из: начало аргумента: 2696 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 56 минус корень из: начало аргумента: 2696 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 56 в квадрате минус 2696, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 440, знаменатель: 16 конец дроби =27,5.$

Заметим, что такое решение связано с трудоемкими вычислениями, поэтому более рациональным является способ, представленный в основном решении.

Приведем еще одно решение.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, а другая b, тогда площадь равна ab. Получим систему уравнений:

$система выражений a плюс b=28, a в квадрате плюс b в квадрате =27 в квадрате конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате =28 в квадрате a в квадрате плюс b в квадрате =27 в квадрате конец системы равносильно система выражений a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате =28 в квадрате a в квадрате плюс b в квадрате =27 в квадрате конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 27 в квадрате плюс 2ab=28 в квадрате a в квадрате плюс b в квадрате =27 в квадрате конец системы равносильно ab= дробь: числитель: 28 в квадрате минус 27 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =27,5.$ $система выражений a плюс b=28, a в квадрате плюс b в квадрате =27 в квадрате конец системы равносильно система выражений левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате =28 в квадрате a в квадрате плюс b в квадрате =27 в квадрате конец системы равносильно$
$равносильно система выражений a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате =28 в квадрате a в квадрате плюс b в квадрате =27 в квадрате конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 27 в квадрате плюс 2ab=28 в квадрате a в квадрате плюс b в квадрате =27 в квадрате конец системы равносильно ab= дробь: числитель: 28 в квадрате минус 27 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =27,5.$

Приведем решение Артема Глебова.

$a в квадрате плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка в квадрате =27 в квадрате равносильно a в квадрате плюс 784 минус 56a плюс a в квадрате =729 равносильно$
$равносильно 2a в квадрате минус 56a плюс 55=0 равносильно a в квадрате минус 28a плюс 27,5=0.$ $a в квадрате плюс левая круглая скобка 28 минус a правая круглая скобка в квадрате =27 в квадрате равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс 784 минус 56a плюс a в квадрате =729 равносильно$
$равносильно 2a в квадрате минус 56a плюс 55=0 равносильно a в квадрате минус 28a плюс 27,5=0.$

Корнями этого уравнения являются длины смежных сторон прямоугольника. По теореме Виета произведение корней равно 27,5. Произведение двух смежных сторон  — это площадь прямоугольника, следовательно, площадь равна 27,5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получен верный обоснованный ответ	2
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 311566: 311572 Все

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)

Решение · Критерии · 1 комментарий · Помощь

Тип 23 № 311572 Добавить в вариант

Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найдите площадь этого прямоугольника.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получен верный обоснованный ответ	2
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 311566: 311572 Все

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(7 вар)

Решение · Критерии · Помощь