Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке
В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина 
Значит, треугольник AKD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка 
Значит, 
Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен 
Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен Покажем, что отрезки GO и OH равны: 
Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда 
Аналогично, в треугольнике BKC — 
Получаем: 
откуда 
Значит, 
Отрезок GH — средняя линия трапеции, следовательно, 
откуда 
Ответ: 1; 21.
Приведем решение Сергея Пепеляева.
Пусть GH — средняя линия трапеции, а EF — отрезок, соединяющий середины оснований трапеции. Проведем из точки C прямую параллельную боковой стороне AB, пусть она пересекает основание AD в точке M. Проведем также из точки C прямую, параллельную отрезку EF, пусть она пересекает основание AD в точке N. В треугольнике MCD имеем ∠CMD = ∠BAC = 77°, ∠CDM = 13°, тогда треугольник CMD прямоугольный. Заметим, что 
тогда 
следовательно, CN — медиана прямоугольного треугольника, CN = MN.
Рассмотрим случай, когда GH = 11, EF = 10. Тогда 
откуда AD = 21, BC = 1.
Рассмотрим случай, когда GH = 10, EF = 11. Тогда 
и полученная система уравнений не имеет положительных решений.
Следовательно, основания трапеции равны 1 и 21.
-------------
Дублирует задание № 339730.Спрятать критерии