Ре­ше­ние. Про­длим сто­ро­ны AB и CD до пе­ре­се­че­ния в точке В тре­уголь­ни­ке AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, сле­до­ва­тель­но, ве­ли­чи­на Зна­чит, тре­уголь­ник AKD  — пря­мо­уголь­ный. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AKD, он пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, центр опи­сан­ной окруж­но­сти  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы, то есть точка Зна­чит,

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AKF и GKO, угол AKF  — общий, углы KGO и KAF равны как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен Ана­ло­гич­но, по­доб­ны тре­уголь­ни­ки FKD и OKH, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен По­ка­жем, что от­рез­ки GO и OH равны: Рас­смот­рим тре­уголь­ник GKH, он пря­мо­уголь­ный, ана­ло­гич­но тре­уголь­ни­ку AKF точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка GKH, от­ку­да Ана­ло­гич­но, в тре­уголь­ни­ке BKC  —

По­лу­ча­ем: от­ку­да Зна­чит,

От­ре­зок GH  — сред­няя линия тра­пе­ции, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Ответ: 1; 21.

При­ве­дем ре­ше­ние Сер­гея Пе­пе­ля­е­ва.

Пусть GH  — сред­няя линия тра­пе­ции, а EF  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний тра­пе­ции. Про­ве­дем из точки C пря­мую па­рал­лель­ную бо­ко­вой сто­ро­не AB, пусть она пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке M. Про­ве­дем также из точки C пря­мую, па­рал­лель­ную от­рез­ку EF, пусть она пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке N. В тре­уголь­ни­ке MCD имеем ∠CMD  =  ∠BAC  =  77°, ∠CDM  =  13°, тогда тре­уголь­ник CMD пря­мо­уголь­ный. За­ме­тим, что тогда сле­до­ва­тель­но, CN  — ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, CN  =  MN.

Рас­смот­рим слу­чай, когда GH  =  11, EF  =  10. Тогда от­ку­да AD  =  21, BC  =  1.

Рас­смот­рим слу­чай, когда GH  =  10, EF  =  11. Тогда и по­лу­чен­ная си­сте­ма урав­не­ний не имеет по­ло­жи­тель­ных ре­ше­ний.

Сле­до­ва­тель­но, ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 1 и 21.