В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.
Пусть точка P — точка пересечения отрезков BE и AD (см. рис.). Треугольник ABD — равнобедренный, так как его биссектриса BP является высотой. Поэтому
По свойству биссектрисы треугольника
Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Пусть точка K — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD. Тогда 
Из подобия треугольников APE и KPB следует, что 
Поэтому 
и 
Следовательно
Ответ: 
Приведем другое решение.
Треугольники ABO и BOD равны: они прямоугольные, углы ABE и DBE равны, сторона BO — общая. Тогда 
и 
Заметим далее, что 
а тогда 
Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам, поэтому 
откуда 
Найдем AB и AE.
Треугольники ABE и BED равны: 
углы BEA и BED равны, сторона BE — общая, поэтому 
Медиана ED треугольника BEC делит его на два равновеликих, поэтому справедливо равенство: 
Тем самым, 
Наконец, площадь треугольника ABD равна половине площади треугольника ABC, откуда
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними, поэтому:
Тогда 
С другой стороны,
откуда
Длину AB найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABO:
Значит, 
Длину AE найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOE:
тогда
Поэтому 