В окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны две хорды АВ и CD так, что цен­траль­ные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ОК и OL. До­ка­жи­те, что ОК и OL равны.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках I и J пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, при­чем точки I и J лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой AB. До­ка­жи­те, что от­рез­ки AB и IJ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

В окруж­но­сти с цен­тром O про­ве­де­ны две рав­ные хорды и MN. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры OH и OS. До­ка­жи­те, что OH и OS равны.

В окруж­но­сти через се­ре­ди­ну O хорды AC про­ве­де­на хорда BD так, что дуги AB и CD равны. До­ка­жи­те, что O  — се­ре­ди­на хорды BD.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внут­ри дру­гой. Внут­рен­няя общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям делит от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий их цен­тры, в от­но­ше­нии m:n. До­ка­жи­те, что диа­мет­ры этих окруж­но­стей от­но­сят­ся как m:n.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках I и J пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, при­чем точки I и J лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой AB. До­ка­жи­те, что AB пер­пен­ди­ку­ляр­на IJ.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках P и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внут­ри дру­гой. Внут­рен­няя общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям делит от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий их цен­тры, в от­но­ше­нии a:b. До­ка­жи­те, что диа­мет­ры этих окруж­но­стей от­но­сят­ся как a:b.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках P и Q пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках K и L, при­чем точки P и Q лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой KL. До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и KL пер­пен­ди­ку­ляр­ны.