Тип 16 № 324868 

Окружность, круг и их элементы. Касательная, хорда, секущая, радиус
i
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
Решение. 
Заметим, что длины дуг относятся так же, как их градусные меры. Пусть первая дуга имеет градусную меру
тогда вторая дуга имеет градусную меру
а третья —
Три дуги в сумме составляют окружность, поэтому получаем:

Поэтому меньшая дуга окружности равна
Угол треугольника, опирающийся на эту дугу является вписанным, поэтому он равен половине дуги:
Меньший угол треугольника лежит против меньшей стороны. Найдем радиус описанной окружности:

Ответ: 14.
Примечание.
Радиус окружности можно было найти другим способом. Заметим, что меньшая сторона треугольника стягивает меньшую из дуг, равную 60°. Длина хорды, стягивающей дугу в 60°, равна радиусу окружности, следовательно, радиус окружности равен 14.
Ответ: 14