OГЭ–2025, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 24 № 315039 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

Геометрические задачи на доказательство. Правильные многоугольники

Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Решение.

Рассмотрим маленькие треугольники $F_1AA_1$ и $A_1BB_1,$ $F_1A=A_1B,AA_1=BB_1,$ $\angle A=\angle B=120 градусов,$ следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, $A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1E_1=E_1F_1=F_1A_1.$

Любой угол правильного шестиугольника равен $дробь: числитель: 180 градусов умножить на левая круглая скобка 6 минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 6 конец дроби =120 градусов.$ Треугольники $F_1AA_1$ и $A_1BB_1$   — равнобедренные, углы при основаниях равны $дробь: числитель: 180 градусов минус 120 градусов, знаменатель: 2 конец дроби =30 градусов.$ Рассмотрим развернутый угол $FF_1A:$

$180 градусов=\angle FF_1E_1 плюс \angle E_1F_1A_1 плюс \angle AF_1A_1 равносильно$
$равносильно \angle E_1F_1A_1=180 градусов минус \angle FF_1E_1 минус \angle AF_1A_1=180 градусов минус 30 градусов минус 30 градусов=120 градусов.$

Аналогично все остальные углы шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ равны $120 градусов,$ следовательно, шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$   — правильный.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы	2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 315039: 315124 Все

Источник: Банк заданий ФИПИ

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 24 № 315124 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

Геометрические задачи на доказательство. Правильные многоугольники

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.

Решение.

Рассмотрим маленькие треугольники $H_1AA_1$ и $A_1BB_1,$ $H_1A=A_1B,AA_1=BB_1,$ $\angle A=\angle B=135 градусов,$ следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, $A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1E_1=E_1F_1=F_1E_1=E_1G_1=G_1H_1=H_1A_1.$

Любой угол правильного восьмиугольника равен $дробь: числитель: 180 градусов умножить на левая круглая скобка 8 минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби =135 градусов.$ Треугольники $H_1AA_1$ и $A_1BB_1$   — равнобедренные, углы при основаниях равны $дробь: числитель: 180 градусов минус 135 градусов, знаменатель: 2 конец дроби =22,5 градусов.$ Рассмотрим развернутый угол $AA_1B:$

$180 градусов=\angle AA_1H_1 плюс \angle H_1A_1B_1 плюс \angle BA_1B_1 равносильно$
$равносильно \angle H_1A_1B_1=180 градусов минус \angleAA_1H_1 минус \angle BA_1B_1=180 градусов минус 22,5 градусов минус 22,5 градусов=135 градусов.$

Аналогично все остальные углы восьмиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$ равны $135 градусов,$ следовательно, восьмиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$   — правильный.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы	2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 315039: 315124 Все

Источник: Банк заданий ФИПИ

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе