Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 25 № 461905
i

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  12 и CD = 30 впи­сан в окруж­ность. Диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, при­чем \angle AKB=60 гра­ду­сов. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем через точку D пря­мую, па­рал­лель­ную диа­го­на­ли AC. Дуги AL и CD равны, сле­до­ва­тель­но, равны и стя­ги­ва­ю­щие их хорды: AL = CD = 30.

Вер­ти­каль­ные углы AKB и CKD равны. Углы CKD и LDK равны как на­крест ле­жа­щие: \angle CKD =\angle LDK = 60 гра­ду­сов.

Че­ты­рех­уголь­ник ABDL впи­сан в окруж­ность, сле­до­ва­тель­но, суммы про­ти­во­ле­жа­щих углов равны 180°, от­ку­да \angle LAB = 180 гра­ду­сов минус \angle LDK = 180 гра­ду­сов минус 60 гра­ду­сов = 120 гра­ду­сов.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABL. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

BL= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AL в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те минус 2AL умно­жить на AB ко­си­нус 120 гра­ду­сов конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 900 плюс 144 минус 2 умно­жить на 30 умно­жить на 12 умно­жить на ко­си­нус 120 гра­ду­сов конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1404 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABL окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов: R = дробь: чис­ли­тель: BL, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle BAL конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1404 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 синус 120 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1404 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 синус 60 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1404 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1404, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 468 конец ар­гу­мен­та = 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .


-------------
Дублирует задание № 349466.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Ход ре­ше­ния вер­ный, все его шаги вы­пол­не­ны пра­виль­но, по­лу­чен вер­ный ответ2
Ход ре­ше­ния вер­ный, чертёж со­от­вет­ству­ет усло­вию за­да­чи, но про­пу­ще­ны су­ще­ствен­ные объ­яс­не­ния или до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка1
Дру­гие слу­чаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным кри­те­ри­ям0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: ОГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2025. Ос­нов­ная волна. Санкт-Пе­тер­бург. Ва­ри­ант 2510
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025