Четырехугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.
Проведем через точку D прямую, параллельную диагонали AC. Дуги AL и CD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды: 
Вертикальные углы AKB и CKD равны. Углы CKD и LDK равны как накрест лежащие: 
Четырехугольник ABDL вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°: 
Рассмотрим треугольник ABL. По теореме косинусов
Найдем радиус описанной вокруг треугольника ABL окружности по теореме синусов:
Ответ: 
Передвинем хорду CD так, чтобы она стала параллельна стороне AB (см. рис.). Заметим, что при таком движении угол AKB остается равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг AB и 
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги AD и BC равны. Углы ACD и BDC равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник KDC — равнобедренный:
Все углы треугольника KDC равны 60°, следовательно, треугольник 
Аналогично можно показать, что треугольник AKB — равносторонний, откуда 
В треугольнике BDC находим 
По теореме косинусов:
По теореме синусов: 
Приведем другое решение.
Рассмотрим треугольник BKC, сумма углов треугольника равна 180°: 
Углы AKB и CKB являются смежными, следовательно, 
откуда:
Пусть R — радиус описанной окружности, угол BCA обозначим как 
Рассмотрим треугольник BCA, он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
Аналогично, из треугольника 
Разделим CD на 
Откуда:
Найдем 
Таким образом, радиус описанной окружности равен:
Приведем еще одно решение.
Углы ABD и ACD равны, поскольку опираются на одну дугу. Пусть 
В треугольнике KCD по теореме синусов
В треугольнике ABK по теореме синусов
В треугольнике AKD по теореме косинусов
В треугольнике ACD по теореме синусов
