Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 316346

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Спрятать решение

Решение.

Воспользуемся теоремой косинусов:

c= корень из a в степени 2 плюс b в степени 2 минус 2ab косинус 120 градусов= корень из 16 плюс 16 плюс 2 умножить на 16 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =4 корень из 3

(здесь a и b — боковые стороны равнобедренного треугольника, c — основание.

Диаметр описанной окружности найдем по обобщенной теореме синусов:

D=2R=2 умножить на дробь: числитель: c, знаменатель: 2 синус 120 градусов конец дроби =2 умножить на дробь: числитель: 4 корень из 3, знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: корень из 3 конец дроби , знаменатель: конец дроби 2=8.

Ответ: 8.

 

Примечание.

Вместо того, чтобы искать основание треугольника, можно было найти угол при основании. Действительно, сумма углов при основании данного равнобедренного треугольника равна 60°. Эти углы равны, поэтому каждый из них равен 30°. Применяя обобщенную теорему синусов для боковой стороны и противолежащего ей угла, получаем: 2R= дробь: числитель: a, знаменатель: синус альфа конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби синус 30 градусов = 8.

 

Приведем решение Андрея Ларионова.

Угол при основании равен  дробь: числитель: 180 градусов минус 120 градусов, знаменатель: 2 конец дроби =30 градусов.

Следовательно, дуга описанной окружности, на которую он опирается, равна 2 · 30° = 60°. Эту дугу стягивает боковая сторона треугольника.

Хорда, стягивающая дугу в 60°, равна радиусу окружности, поэтому радиус описанной окружности равен боковой стороне треугольника, тогда D = 2 · 4 = 8.


Аналоги к заданию № 316346: 316372 Все