СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика
математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 25 № 314962

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BMC.

Решение.

Проведём высоту так, чтобы она проходила через точку Углы и равны друг другу как вертикальные. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Рассмотрим треугольники и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно, эти треугольники равны, а значит равны отрезки и . Таким образом,

Площадь параллелограмм равна а площадь треугольника

 

 

 

Приведем другое решение.

Площади треугольников ABM и CBM равны, так как у них общая высота и равные стороны AM и MC. Поэтому площадь треугольника АВС равна двум площадям треугольника BMC. Треугольники АВС и ADC равны по трем сторонам, поэтому их площади равны. Следовательно, площадь параллелограмма равна двум площадям треугольника АВС, а значит, четырем площадям треугольника BMC.

Источник: Банк заданий ФИПИ