Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 № 314399
i

Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти такое наи­боль­шее n, что 1 плюс 2 плюс 3 плюс ... плюс n мень­ше 528. Рас­смот­рим ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном a_1=1 и раз­но­стью d=1. Cумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

S_n= дробь: чис­ли­тель: 2a_1 плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n,

в нашем слу­чае

S_n= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 1 плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n= дробь: чис­ли­тель: n плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n.

Най­дем наи­боль­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства S_n мень­ше 528. Для этого най­дем корни урав­не­ния

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка n=528 рав­но­силь­но n в квад­ра­те плюс n минус 1056=0.

Вы­чис­лим дис­кри­ми­нант:

D=b в квад­ра­те минус 4ac=1 плюс 4 умно­жить на 1056=4225=65 в квад­ра­те ,

от­ку­да по­лу­ча­ем:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний n= дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс 65, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,n= дробь: чис­ли­тель: минус 1 минус 65, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний n=32, n= минус 33. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, при n=32 сумма 32 сла­га­е­мых равна 528. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, для ко­то­ро­го сумма будет мень­ше 528, равно 31.

 

Ответ: 31.

 

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить, что n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1056 рав­но­силь­но n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =32 умно­жить на 33, от­ку­да сразу же по­лу­ча­ем: n=32 или n= минус 33.


Аналоги к заданию № 314399: 314423 314474 314401 ... Все

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ
Раздел кодификатора ФИПИ: 4.2 Ариф­ме­ти­че­ская и гео­мет­ри­че­ская про­грес­сии. Фор­му­ла слож­ных про­цен­тов
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025