математика
Математика
Информатика
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 25 № 311969

Окружность ка­са­ет­ся стороны AB тре­уголь­ни­ка ABC, у ко­то­ро­го ∠C = 90°, и про­дол­же­ний его сто­рон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен диа­мет­ру этой окружности.

Решение.

Пусть O — центр окружности, d — её диаметр, а M, N и K — точки ка­са­ния окруж­но­сти с пря­мы­ми AC, AB и BC соответственно. Ра­ди­ус OM пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, а OK пер­пен­ди­ку­ля­рен BC. Следовательно, в четырёхугольнике OMCK имеем ∠C = ∠M = ∠K = 90°, а значит, OMCK — прямоугольник. По­сколь­ку OM = OK, пря­мо­уголь­ник OMCK — квадрат. Следовательно,

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: AM = AN, BN = BK и CM = CK. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен

 

P = AB + BC + AC = AC + AN + BN + BC =

AC + AM + BK + BC = MC + CK = 2MC = d.