Ре­ше­ние. Пусть O  — центр окруж­но­сти, d  — ее диа­метр, а M, N и K  — точки ка­са­ния окруж­но­сти с пря­мы­ми AC, AB и BC со­от­вет­ствен­но. Ра­ди­ус OM пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, а OK пер­пен­ди­ку­ля­рен BC. Сле­до­ва­тель­но, в че­ты­рех­уголь­ни­ке OMCK имеем ∠C = ∠M = ∠K  =  90°, а зна­чит, OMCK  — пря­мо­уголь­ник. По­сколь­ку OM  =  OK, пря­мо­уголь­ник OMCK  — квад­рат. Сле­до­ва­тель­но,

От­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки к окруж­но­сти, равны: AM  =  AN, BN  =  BK и CM  =  CK. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен