Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 № 137295

Последовательность задана формулой c_n=n плюс дробь: числитель: ( минус 1) в степени n , знаменатель: n конец дроби . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

 

1) 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби 2) 4 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби 3) 5 дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби 4) 6 дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби
Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим несколько первых членов последовательности:

n=1: \quad c_1=1 плюс дробь: числитель: ( минус 1) в степени 1 , знаменатель: 1 конец дроби =0,

n=2: \quad c_2=2 плюс дробь: числитель: ( минус 1) в степени 2 , знаменатель: 2 конец дроби =2 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,

n=3: \quad c_3=3 плюс дробь: числитель: ( минус 1) в степени 3 , знаменатель: 3 конец дроби =2 дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,

n=4: \quad c_4=4 плюс дробь: числитель: ( минус 1) в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби =4 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,

n=5: \quad c_5=5 плюс дробь: числитель: ( минус 1) в степени 5 , знаменатель: 5 конец дроби =4 дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ,

n=6: \quad c_6=6 плюс дробь: числитель: ( минус 1) в степени 6 , знаменатель: 6 конец дроби =6 дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,

Отметим, что числа, указанные под номерами 1), 2) и 4) являются 2-м, 4-м и 6-м членом последовательности соответственно. Докажем, что число  5 дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , указанное под номером 3, не является членом последовательности (*).

Действительно, первые 6 членов последовательности уже проверены. Для следующих членов первое слагаемое в сумме  c_n = n плюс дробь: числитель: ( минус 1) в степени n , знаменатель: n конец дроби не меньше 7, а абсолютная величина второго слагаемого не больше  дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби . Поэтому для всех n \geqslant 7 справедлива оценка c_n \geqslant 6 дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби . Тем самым, число 5 дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби не является членом данной последовательности.

 

Правильный ответ указан под номером 3.

 

 

Примечание.

Доказательство (*) является неотъемлемой частью решения. Полагать, что число 5 дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби не является членом последовательности потому, что «раз не совпало с первыми членами, то и потом не совпадёт» безосновательно.


Аналоги к заданию № 137295: 169365 169367 169369 169371 169373 169375 169377 169379 169381 169383 Все