PDF-версии: 
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение. Сделаем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO, BO, CO — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдем AK:
Отрезки OM, OL и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть 
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда 
Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем 
а из равенства треугольников BOL и BOM — 
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма:
Площадь параллелограмма равна: 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Сделаем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть O— центр окружности, вписанной в треугольник ABC, точки K, L, M — точки касания окружности со сторонами AC, AB и BC соответственно.
Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдем AK:
Из прямоугольного треугольника AOH найдем AH:
Следовательно, треугольники AOK и AOH равны по трем сторонам, тогда ∠OAK = ∠AOH.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, следовательно, AO — биссектриса, тогда ∠BAO = ∠OAK = ∠AOH. Углы BAO и AOH — накрестлежащие при пересечении прямых AB и OH секущей AO, следовательно, прямые AB и OH параллельны, значит, ABCD — прямоугольник.
Пусть r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, r = OK = 3.
В прямоугольном треугольнике ABC AL = AK = 4, LB = BM = r = 3, MC = CK по свойству касательных. Пусть MC = CK = x. Тогда по теореме Пифагора
Следовательно, стороны прямоугольника ABC: AB = 4 + 3 = 7, BC = 3 + 21 = 24, тогда его площадь 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть 
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда 
Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем 
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда 
Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем 
точки O, L и H лежат на одной прямой, HL — высота параллелограмма ABCD,
— радиус окружности, вписанной в него. Обозначим 
Тогда
находим, что 
Следовательно,
проведена диагональ 
Точка 
является центром окружности, вписанной в треугольник 
Расстояния от точки 
и прямых 
и 
соответственно равны 25, 9 и 7. Найдите площадь параллелограмма 