Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник   — он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке OKM имеем: Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ник MBK: сумма его углов равна 180°, по­это­му

По­сколь­ку кроме этого имеем:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BMK и они пря­мо­уголь­ные, имеют общий катет и BK равно KC, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит,

Точка M от­сто­ит на рав­ное рас­сто­я­ние от всех трех вер­шин тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, точка M  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. Диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти

Ответ: 6.

При­ве­дем за­ме­ча­ние Та­тья­ны Бе­ло­конь.

Для до­ка­за­тель­ство того, что угол BKM равен 90°, до­ста­точ­но за­ме­тить, что это впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр.