Ре­ше­ние. Пусть   — длина сред­ней линии. Про­ве­дем вы­со­ту CH и про­ве­дем пря­мую CE, па­рал­лель­ную Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник сле­до­ва­тель­но, BCED  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник ACE, Пусть p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACE по фор­му­ле Ге­ро­на:

Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACE как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния AE на вы­со­ту CH, от­ку­да най­дем

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию вы­со­ты на по­лу­сум­му длин ос­но­ва­ний:

Ответ: 42.

При­ме­ча­ние.

Можно не ис­кать вы­со­ту тра­пе­ции, а за­ме­тить, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABC и CDE равны, так как со­от­вет­ствен­но равны их ос­но­ва­ния BC и DE и вы­со­ты про­ве­ден­ные к этим ос­но­ва­ни­ям. Тогда

Ре­ше­ние. Пусть   — длина сред­ней линии. Про­ве­дем вы­со­ту CH и про­ве­дем пря­мую CE, па­рал­лель­ную BD. Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник сле­до­ва­тель­но, BCED  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник ACE, Пусть p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ACE. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACE по фор­му­ле Ге­ро­на:

Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACE как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния AE на вы­со­ту CH, от­ку­да най­дем

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию вы­со­ты на по­лу­сум­му ос­но­ва­ний:

Ответ: 96.

При­ме­ча­ние.

Ре­ше­ние можно со­кра­тить, за­ме­тив, что тре­уголь­ник ACE яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным, и его пло­щадь равна пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD. Дей­стви­тель­но, в силу ра­вен­ства

по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, за­клю­ча­ем, что тре­уголь­ник ACE пря­мо­уголь­ный. Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка на­хо­дит­ся как по­лу­про­из­ве­де­ние ка­те­тов:

Далее, тре­уголь­ник ACE имеет общую вы­со­ту с тра­пе­ци­ей, а его ос­но­ва­ние AE есть сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции. Таким об­ра­зом, най­ден­ная пло­щадь дан­но­го тре­уголь­ни­ка равна ис­ко­мой пло­ща­ди тра­пе­ции.