Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 20 и 25, а ос­но­ва­ние BC равно 5. Бис­сек­три­са угла ADC про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем BK:

Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и AMD: сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную AB. Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем PD:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 250.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что в на­ча­ле ре­ше­ния за­да­чи не было из­вест­но, что тра­пе­ция ока­жет­ся пря­мо­уголь­ной, по­это­му на ри­сун­ке можно было бы изоб­ра­зить про­из­воль­ную тра­пе­цию. Од­на­ко в ходе ре­ше­ния за­да­чи вы­яс­ни­лось, что тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, по­это­му ри­су­нок со­от­вет­ству­ет ре­зуль­та­ту ре­ше­ния.

При­ве­дем при­ме­ча­ние Сер­гея Пе­пе­ля­е­ва.

За­ме­тим, что найти AB можно было сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Про­ве­дем MN  — сред­нюю линию тра­пе­ции. Тре­уголь­ник MND рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний тра­пе­ции, тогда