Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AP  =  16, а сто­ро­на BC в 1,6 раза мень­ше сто­ро­ны AB.

Че­ты­рех­уголь­ник KPCB впи­сан в окруж­ность, по­это­му сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, сле­до­ва­тель­но, Углы APK и KPC  — смеж­ные, зна­чит, Из при­ве­ден­ных ра­венств, по­лу­ча­ем, что углы KBC и APK равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, то есть тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да Ис­поль­зуя ра­вен­ство най­дем KP:

Ответ: 10.