РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 22 № 461902 Добавить в вариант

Источник: ОГЭ по математике 03.06.2025. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 2510

Функции и их свойства. Графики функций. Кусочно-непрерывные функции

Постройте график функции $y=x в квадрате минус 7x минус 5|x минус 3| плюс 12.$ Определите, при каких значениях m прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение. Раскроем модуль. При $x больше или равно 3$ имеем:

$y=x в квадрате минус 7x минус 5 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс 12 равносильно y=x в квадрате минус 12x плюс 27.$ $y=x в квадрате минус 7x минус 5 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс 12 равносильно$
$равносильно y=x в квадрате минус 12x плюс 27.$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины: $x_0= минус дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби =6,$ ордината вершины $y_0=y левая круглая скобка 6 правая круглая скобка = минус 9.$ Точка пересечения графика с осью ординат: $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =27.$ Точки пересечения с осью абсцисс найдем из уравнения $x в квадрате минус 12x плюс 27=0,$ получим: $x= 3,$ $x=9.$ Дополнительная точка: $y левая круглая скобка 10 правая круглая скобка =7.$

При $x меньше 3$ имеем:

$y=x в квадрате минус 7x минус 5 левая круглая скобка минус x плюс 3 правая круглая скобка плюс 12 равносильно y=x в квадрате минус 2x минус 3.$ $y=x в квадрате минус 7x минус 5 левая круглая скобка минус x плюс 3 правая круглая скобка плюс 12 равносильно$
$равносильно y=x в квадрате минус 2x минус 3.$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины: $x_0= минус дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби = 1,$ ордината вершины $y_0=y левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 4.$ Точка пересечения графика с осью ординат: $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 3.$ Точки пересечения с осью абсцисс найдем из уравнения $x в квадрате минус 2x минус 3=0,$ получим: $x= минус 1,$ $x= 3.$ Дополнительная точка: $y левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =5.$

График функции $y=x в квадрате минус 7x минус 5|x минус 3| плюс 12$ изображен на рисунке.

Прямая $y = m$ имеет с построенным графиком ровно три общие точки при $m = минус 4$ и $m =0.$

Ответ: $m = минус 4$ и $m =0.$

Приведем другой способ построения графика.

Раскроем модуль:

$y=x в квадрате минус 7x минус 5|x минус 3| плюс 12= система выражений x в квадрате минус 12x плюс 27,x больше или равно 3,x в квадрате минус 2x минус 3,x меньше 3. конец системы$ $y=x в квадрате минус 7x минус 5|x минус 3| плюс 12=$
$= система выражений x в квадрате минус 12x плюс 27,x больше или равно 3,x в квадрате минус 2x минус 3,x меньше 3. конец системы$

Выделим полные квадраты:

$y=x в квадрате минус 12x плюс 27=x в квадрате минус 12x плюс 36 минус 9= левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус 9;$ $y=x в квадрате минус 12x плюс 27=$
$=x в квадрате минус 12x плюс 36 минус 9= левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус 9;$ $y=x в квадрате минус 12x плюс 27=$
$=x в квадрате минус 12x плюс 36 минус 9=$
$= левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус 9;$

$y=x в квадрате минус 2x минус 3=x в квадрате минус 2x плюс 1 минус 4= левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4.$ $y=x в квадрате минус 2x минус 3=$
$=x в квадрате минус 2x плюс 1 минус 4= левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4.$ $y=x в квадрате минус 2x минус 3=$
$=x в квадрате минус 2x плюс 1 минус 4=$
$= левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4.$

Следовательно, график функции $y=x в квадрате минус 12x плюс 27$ получается из графика функции $y=x в квадрате$ сдвигом на $левая круглая скобка 6; минус 9 правая круглая скобка$ а график функции $y=x в квадрате минус 2x минус 3$   — сдвигом на $левая круглая скобка 1; минус 4 правая круглая скобка .$

График функции $y=x в квадрате минус 7x минус 5|x минус 3| плюс 12$ изображен на рисунке выше.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
График построен правильно, верно указаны все значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком только одну общую точку	2
График построен правильно, указаны не все верные значения m	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Источник: ОГЭ по математике 03.06.2025. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 2510

Ключ