Ре­ше­ние.

По­сколь­ку угол ACB тупой, ос­но­ва­ния высот A₁ и B₁ будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B пе­ре­се­ка­ют­ся, по­это­му он вы­пук­лый. По­сколь­ку ∠AA₁B = ∠AB₁B = 90°, каж­дый из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AA₁B и AB₁B впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AB. Это озна­ча­ет, что все вер­ши­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B лежат на одной окруж­но­сти. Тогда углы ∠AB₁A₁ и ∠ABA₁ равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу A₁A. Ана­ло­гич­но, ∠BA₁B₁ = ∠BAB₁. Зна­чит, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

Ука­жем общую тео­ре­му.

Ос­но­ва­ния двух высот тре­уголь­ни­ка (ост­ро­уголь­но­го или ту­по­уголь­но­го) и одна из его вер­шин об­ра­зу­ют тре­уголь­ник, по­доб­ный ис­ход­но­му; ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен мо­ду­лю ко­си­ну­са их об­ще­го угла.

См. также.

Ана­ло­гич­ное за­да­ние с ост­ро­уголь­ным тре­уголь­ни­ком: 340341.

При­ве­дем ре­ше­ние Ро­ма­на Ре­ше­ти­ло­ва.

Тре­уголь­ни­ки ACA₁ и BCB₁ по­доб­ны по двум углам, по­сколь­ку ∠AA₁C = ∠BB₁C  =  90°, ∠ACA₁ = ∠BCB₁ равны как вер­ти­каль­ные. Сле­до­ва­тель­но,

Углы ACB и A₁CB₁ равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны по от­но­ше­нию двух сто­рон, за­клю­ча­ю­щих рав­ные углы.