PDF-версии: 
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.
Решение. Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:
Периметр трапеции — сумма длин всех сторон:
Следовательно, 
Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:
Высоты 
и CH равны. Из прямоугольного треугольника CHD найдем 
Рассмотрим треугольники ABK и CHD, они прямоугольные, AB равно CD, BK равно CH, следовательно, треугольники равны, откуда 
Прямые BK и CH перпендикулярны прямой AD, поэтому они параллельны, BK равно CH, следовательно, четырехугольник BCHK — параллелограмм, по признаку параллелограмма, откуда 
Рассмотрим выражение для отрезка AD:
Получаем систему уравнений на отрезки AD и ВС:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC, углы CAD и BCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых, углы BOC и AOD равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны. Откуда:
Высота 
Значит, искомое расстояние 
Ответ: 6,4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |