РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 341130 Добавить в вариант

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.4 Окружность и круг

Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 39°, 78° и 63°.

Решение. Пусть

∠BAC  =  α, ∠ABC  =  β, ∠ACB  =  γ;

∠PKM  =  39°, ∠MPK  =  78°, ∠KMP  =  63°.

По свойству касательных AM  =  AP, BM  =  BK, CP  =  CK. Значит, треугольники AMP, BMK и CPK равнобедренные, откуда получаем

$\angle AMP=\angle APM=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби ,$

$\angle BMK=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби ,$

$\angle CPK=\angle CKP=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, $\angle PKM=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CKP минус \angle BKM= дробь: числитель: гамма плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби =39 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Аналогично получаем, что $\angle MPK= дробь: числитель: альфа плюс гамма , знаменатель: 2 конец дроби =78 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle KMP = дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби =63 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Решая систему относительно α, β и γ, получаем, что углы треугольника ABC равны 102°, 24°, 54°.

Ответ: 102°, 24°, 54°.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.	2
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.	0
Максимальный балл	2

Ответ: 102°, 24°, 54°.

341130

102°, 24°, 54°.

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.4 Окружность и круг

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	341130	102°, 24°, 54°.