PDF-версии: 
Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
Решение. В задаче возможны два случая.
Первый случай, AD — одно из оснований. Проведем построения и введем обозначения как указано на рисунке. Рассмотрим треугольники OBH и BOK Рассмотрим треугольники OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда OH = OK. Аналогично из треугольников KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.
Второй случай, AD — одна из боковых сторон. Несмотря на другую геометрическую конфигурацию, доказательство полностью повторяет доказательство для первого случая.
Приведем другое решение.
Точка О лежит на биссектрисе угла ABC, следовательно, она равноудалена от прямых AB и BC. Точка О лежит на биссектрисе угла BCD, следовательно, она равноудалена от прямых BC и CD. Таким образом, точка О равноудалена от прямых AB, BC и CD.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |