РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 90 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Решение. Обозначим S км  — расстояние от A до C, υ км/ч  — скорость автомобиля, t ч  — время движения мотоциклиста от A до C.

Составим таблицу по данным задачи:

(на промежутке от А до С)	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Автомобиль	υ	t	υt
Мотоциклист	100	t	$100t$

Тогда, так как мотоциклист вышел на $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$  ч. позже, то $левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 100t.$

А так как ко времени приезда автомобиля в В мотоциклист прошел половину пути из С в А, то $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 120.$

Решим систему полученных уравнений:

$система выражений новая строка левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 100t, новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 120 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v , знаменатель: левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v конец дроби = дробь: числитель: 100t, знаменатель: 120 конец дроби новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 120 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 2t плюс 3, знаменатель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 5t, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 120 конец системы . равносильно система выражений новая строка t=1, новая строка v =40. конец системы .$ $система выражений новая строка левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 100t, новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 120 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v , знаменатель: левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v конец дроби = дробь: числитель: 100t, знаменатель: 120 конец дроби новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 120 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 2t плюс 3, знаменатель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 5t, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 120 конец системы . равносильно система выражений новая строка t=1, новая строка v =40. конец системы .$

Тогда $S = 100t= 100$ км.

Ответ: 100 км.

Приведем другой способ решения.

Обозначим υ км  — скорость автомобиля. В момент выезда мотоциклиста между автомобилем и мотоциклом было 1,5υ км, и мотоциклист догонит автомобиль в городе C за $дробь: числитель: 1,5 v , знаменатель: 100 минус v конец дроби$ ч. За это же время мотоцикл проедет половину пути от C до A, а автомобиль доедет до B.

Всего автомобиль затратит времени $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1,5 v , знаменатель: 100 минус v конец дроби плюс 1,5.$ За это время он со скоростью υ проедет 120 км. Получим уравнение:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 4,5 v , знаменатель: 200 минус 2 v конец дроби плюс 1,5 правая круглая скобка умножить на v =120 равносильно 1,5 v в квадрате плюс 300 v =120 умножить на 200 минус 240 v равносильно v в квадрате плюс 360 v минус 16000=0.$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 4,5 v , знаменатель: 200 минус 2 v конец дроби плюс 1,5 правая круглая скобка умножить на v =120 равносильно$
$равносильно 1,5 v в квадрате плюс 300 v =120 умножить на 200 минус 240 v равносильно v в квадрате плюс 360 v минус 16000=0.$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 4,5 v , знаменатель: 200 минус 2 v конец дроби плюс 1,5 правая круглая скобка умножить на v =120 равносильно$
$равносильно 1,5 v в квадрате плюс 300 v =120 умножить на 200 минус 240 v равносильно$
$равносильно v в квадрате плюс 360 v минус 16000=0.$

Положительный корень уравнения $v =40.$ Тогда на дорогу до города С мотоциклист затратит $дробь: числитель: 60, знаменатель: 60 конец дроби =1$ час, а поскольку его скорость равна 100 км/ч, расстояние до C равно 100 км.

Ответ: 100 км.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильно составлено уравнение, получен верный ответ	2
Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	338945	100

Ключ