РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип Д12 № 314432 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Арифметические и геометрические прогрессии. Арифметическая прогрессия

Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 435?

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 528?

Для ответа на вопрос задачи требуется найти такое наибольшее n, что $1 плюс 2 плюс 3 плюс ... плюс n меньше 528.$ Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=1$ и разностью $d=1.$ Cумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n= дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n,$

в нашем случае

$S_n= дробь: числитель: 2 умножить на 1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на 1, знаменатель: 2 конец дроби n= дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби n.$

Найдем наибольшее натуральное решение неравенства $S_n меньше 528.$ Для этого найдем корни уравнения

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка n=528 равносильно n в квадрате плюс n минус 1056=0.$

Вычислим дискриминант:

$D=b в квадрате минус 4ac=1 плюс 4 умножить на 1056=4225=65 в квадрате ,$

откуда получаем:

$совокупность выражений n= дробь: числитель: минус 1 плюс 65, знаменатель: 2 конец дроби ,n= дробь: числитель: минус 1 минус 65, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений n=32, n= минус 33. конец совокупности .$

Таким образом, при $n=32$ сумма 32 слагаемых равна 528. Следовательно, наибольшее натуральное число, для которого сумма будет меньше 528, равно 31.

Ответ: 31.

Примечание.

Можно заметить, что $n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =1056 равносильно n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =32 умножить на 33,$ откуда сразу же получаем: $n=32$ или $n= минус 33.$

Ответ: 25

314432

Источник: Банк заданий ФИПИ

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	314432	25