Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники
i
Стороны AC, AB, BC треугольника ABCравны и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причем отрезок KC пересекает отрезок AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если
Решение. По условию то есть треугольник KAC — тупоугольный. Тогда подобный ему ABC также тупоугольный. Определим соответственные углы. Так как напротив большего угла лежит большая сторона, то тогда Так как то и Следовательно,
а потому По теореме косинусов в треугольнике AKC имеем:
Подставляя, получаем, что
Ответ:
Примечание.
Можно не вычислять длины сторон: углы подобных треугольников равны, следовательно, равны и их косинусы. Тогда:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка
1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям