Ре­ше­ние. Вы­чис­лим угол вось­ми­уголь­ни­ка по фор­му­ле Таким об­ра­зом, угол вось­ми­уголь­ни­ка равен Если вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то об­ра­зу­ют­ся че­ты­ре рав­ных рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка, углы при ос­но­ва­нии ко­то­рых равны Тогда угол между двумя от­рез­ка­ми, ко­то­рые со­еди­ня­ют вер­ши­ны, равен По­сколь­ку все че­ты­ре рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка равны, то и сто­ро­ны по­лу­чив­ше­го­ся че­ты­рех­уголь­ни­ка равны. Таким об­ра­зом, если вер­ши­ны вось­ми­уголь­ни­ка по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

При­ве­дем ре­ше­ние Да­ни­и­ла Кар­са­ко­ва.

Если вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то об­ра­зу­ют­ся че­ты­ре рав­ных рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, все сто­ро­ны по­лу­чив­ше­го­ся че­ты­рех­уголь­ни­ка равны. Углы этого че­ты­рех­уголь­ни­ка опи­ра­ют­ся на диа­мет­ры окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг пра­виль­но­го вось­ми­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, эти углы пря­мые. Тогда по­лу­чив­ший­ся че­ты­рех­уголь­ник  — квад­рат.