РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 17 № 169861 Добавить в вариант

Четырёхугольники, многоугольники и их элементы. Треугольники общего вида

В треугольнике одна из сторон равна 12, другая равна 10, а тангенс угла между ними равен $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ Найдите площадь треугольника.

Решение. По условию $тангенс альфа = дробь: числитель: синус альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 4 конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: синус в квадрате альфа , знаменатель: косинус в квадрате альфа конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,$ тогда $8 синус в квадрате альфа = косинус в квадрате альфа .$ Из основного тригонометрического тождества $косинус в квадрате альфа = 1 минус синус в квадрате альфа ,$ а потому

$8 синус в квадрате альфа = 1 минус синус в квадрате альфа равносильно 9 синус в квадрате альфа = 1 равносильно синус в квадрате альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби \underset синус альфа больше 0 \mathop равносильно синус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длин смежных сторон на синус угла между ними:

$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 умножить на 12 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби =20.$

Ответ: 20.

Приведем другое решение.

Пусть α  — угол в прямоугольном треугольнике ABC такой, что $BC = корень из 2 ,$ AB  =  4. Тогда $тангенс альфа = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 4 конец дроби .$ По теореме Пифагора

$AC = корень из: начало аргумента: 16 плюс 2 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 18 конец аргумента = 3 корень из 2 ,$

откуда

$синус альфа = дробь: числитель: BC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 3 корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длин смежных сторон на синус угла между ними:

Ответ: 20.

Ответ: 20

169861

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	169861	20