Образовательный портал «РЕШУ ОГЭ» (https://math-oge.sdamgia.ru)

Треугольники общего вида

1. Тип 17 № 169853

В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

Решение. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Таким образом:

$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 умножить на 5=25.$

Ответ: 25.

Ответ: 25

169853

Раздел кодификатора ФИПИ: 5.1 Планиметрия. Нахождение геометрических величин.

2. Тип 17 № 169854

В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна $10 корень из 3$ , а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.

Решение. Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Имеем:

$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 умножить на 10 корень из 3 умножить на синус 60 градусов= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 умножить на 10 корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =75 .$

Ответ: 75.

Ответ: 75

169854

Раздел кодификатора ФИПИ: 5.1 Планиметрия. Нахождение геометрических величин.

3. Тип 17 № 323436

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Решение. Заметим, что треугольник со сторонами 24, 32 и 40 подобен египетскому треугольнику со сторонами 3, 4, 5 с коэффициентом 8. Следовательно, этот треугольник прямоугольный, а отрезок длины 24 — высота изображенного на рисунке треугольника. Тогда его площадь можно найти как половину произведения основания на высоту:

$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ah= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на (32 плюс 10) умножить на 24=504.$

Ответ: 504.

Ответ: 504

323436

504

Раздел кодификатора ФИПИ: 5.1 Планиметрия. Нахождение геометрических величин.

4. Тип 17 № 341524

В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение. Треугольники ABC и DEC подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = 2, так как $DE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB.$ Значит, $S_ABC=k в степени 2 S_DEC=4 умножить на 97=388.$

Ответ: 388.

Ответ: 388

341524

388

Раздел кодификатора ФИПИ: 5.1 Планиметрия. Нахождение геометрических величин.

5. Тип 17 № 356222

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение. Площадь треугольника равняется половине произведения сторон на синус угла между ними: $S_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AC умножить на BC синус C,$ так как $AC = AD плюс DC,$ значит, $S_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на (AD плюс DC) умножить на BC синус C,$ поэтому

$BC синус C = дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: дробь: числитель: 1 конец дроби 2, знаменатель: конец дроби cdot (AD плюс DC)= дробь: числитель: 20, знаменатель: дробь: числитель: 1 конец дроби 2, знаменатель: конец дроби cdot (3 плюс 7) = 4.$

Выразим через $синус C$ площадь треугольника BCD:

$S_BCD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на DC умножить на BC синус C = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 умножить на 4 = 14.$

Ответ: 14.

Приведем другое решение.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, можно найти высоту треугольника ABC:

$S_\Delta ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC умножить на h равносильно S_\Delta ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AD плюс DC) умножить на h равносильно h = дробь: числитель: 2S_\Delta ABC, знаменатель: (AD плюс DC) конец дроби ,$ тогда $h= дробь: числитель: 2 умножить на 20, знаменатель: 3 плюс 7 конец дроби =4.$

Треугольник BCD имеет такую же высоту, что и треугольник ABC, следовательно,

$S_\Delta BCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DC умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 умножить на 4 = 14.$

Приведем еще одно решение.

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$дробь: числитель: S_\Delta BCD, знаменатель: S_\Delta ABC конец дроби = дробь: числитель: DC, знаменатель: AC конец дроби ,$ тогда $S_\Delta BCD= дробь: числитель: S_\Delta ABC умножить на DC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 20 умножить на 7, знаменатель: 10 конец дроби =14.$

Ответ: 14

356222

Источник: Банк заданий ФИПИ

6. Тип 17 № 356242

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 18, MN = 8. Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон: $дробь: числитель: S_MBN, знаменатель: S_ABC конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: MN, знаменатель: AC конец дроби правая круглая скобка в степени 2 ,$ поэтому

$S_MBN = левая круглая скобка дробь: числитель: MN, знаменатель: AC конец дроби правая круглая скобка в степени 2 умножить на S_ABC= левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка в степени 2 умножить на 81 = 16.$

Ответ: 16.

Ответ: 16

356242

Источник: Банк заданий ФИПИ

7. Тип 17 № 356329

Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

$S = pr = 25 умножить на 4 = 100.$

Ответ: 100.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что длина стороны для ответа на вопрос задачи не нужна.

Ответ: 100

356329

100

Источник: Банк заданий ФИПИ

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	169853	25
2	169854	75
3	323436	504
4	341524	388
5	356222	14
6	356242	16
7	356329	100