Решение. Найдем отрезок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB перпендикулярен AC, треугольник AOD — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: . Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, AC = AD·2 = 6.

Ответ: 6.

Решение. Проведем радиусы OA и OB. Так как по условию задачи хорда AB равна радиусу, то треугольник AOB — равносторонний, следовательно, все его углы равны 60°. Угол AOB — центральный и равен 60° Угол ACB — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол AOB. Таким образом,

Ответ: 30.

Решение. Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB. Из теоремы Пифагора:

Ответ: 5.

Решение. Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора имеем:

Тогда радиус окружности равен 35 : 2 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Решение. Проведём построение и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники AOH и HOB, они прямоугольные, OH — общая, AO и OB равны как радиусы окружности, следовательно, эти треугольники равны, откуда По теореме Пифагора найдём радиус окружности:

Диаметр равен двум радиусам, следовательно,

Ответ: 90.

Решение. Заметим, что длины дуг относятся так же, как их градусные меры. Пусть первая дуга имеет градусную меру тогда вторая дуга имеет градусную меру а третья — Три дуги в сумме составляют окружность, поэтому получаем:

Поэтому меньшая дуга окружности равна Угол треугольника, опирающийся на эту дугу является вписанным, поэтому он равен половине дуги: Меньший угол треугольника лежит против меньшей стороны. Найдём радиус описанной окружности:

Ответ: 14.

Решение. Пусть О — центр окружности. Радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому треугольник OBA — прямоугольный. Найдём OA по теореме Пифагора:

Следовательно, длина стороны AC равна

Ответ: 8.

Решение. Угол, образованный хордой и касательной равен половине дуги, которую он заключает, поэтому величина дуги MK равна 2 · 83° = 166°. Угол MOK — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Значит, угол MOK равен 166°. В треугольнике OMK стороны OK и OM равны как радиусы окружности, поэтому треугольник OMK — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠OKM = ∠OMK = (180° − ∠KOM)/2 = (180° − 166°)/2 = 7°.

Ответ: 7.

Приведём другое решение.

Найдём угол OKM: OKM = 90° − 83° = 7°. Треугольник OMK — равнобедренный, поэтому угол OMK равен углу OKM и равен 7°

Решение. Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники AOH и BOH, они прямоугольные, стороны AO и OB равны как радиусы окружностей, OH — общая, следовательно, треугольники AOH и HOB равны. Откуда Аналогично, равны треугольники COK и KOD, откуда Рассмотрим треугольник BOH, найдём OB по теореме Пифагора:

Рассмотрим треугольник OKD, он прямоугольный, из теоремы Пифагора найдём

Таким образом,

Ответ: 48.

Решение. Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники AOH и BOH, они прямоугольные, стороны AO и OB равны как радиусы окружностей, OH — общая, следовательно, треугольники AOH и HOB равны. Откуда Аналогично, равны треугольники COK и KOD, откуда Рассмотрим треугольник BOH, найдём OB по теореме Пифагора:

Рассмотрим треугольник OKD, он прямоугольный, из теоремы Пифагора найдём

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды CD равно 9.

Ответ: 9.

Решение. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора найдём

Найдём

Ответ: 10.

Решение. Проведём радиус AH в точку касания. Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдём

Ответ: 40.

Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке. Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, поэтому следовательно, треугольник ABC — равнобедренный. Откуда Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит, дуга AB равна 108°. Угол AOB — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 108°. Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно,

Ответ: 36.

Приведем решение Юрия Петровича Кравченко.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, поэтому следовательно, треугольник ABC — равнобедренный. Откуда Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, следовательно, Тогда

Решение. Сторона квадрата равна диаметру вписанной в него окружности, значит, площадь данного квадрата равна:

Ответ: 6084.

Решение. Проведём радиусы OB и OC в точки касания. Получили два прямоугольных треугольника, катет где R — радиус окружности, гипотенуза AO этих двух прямоугольных треугольников — общая, следовательно, эти треугольники равны. То есть, имеется равенство углов

Теперь из треугольника AOB найдём радиус OB

Ответ: 4.

Решение. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине высоты трапеции. Поэтому высота равна 32.

Ответ: 32.

Решение. Радиус вписанной в квадрат окружности вдвое меньше её стороны. Сторона квадрата равна . Пусть a — сторона квадрата. Тогда диагональ квадрата равна

Ответ: 8.

Решение. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому

Ответ: 4.

Решение. Радиус вписанной в квадрат окружности вдвое меньше стороны квадрата. Он равен 3.

Ответ: 3.

Решение. Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны по 60°. По теореме синусов: значит

Ответ: 2.

Примечание.

Приведем решение с использованием приведенной в справочных материалах к экзамену формулы, связывающей сторону равностороннего треугольника и радиус описанной окружности:

Решение. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:

Ответ: 1.

Приведем другое решение.

Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. В равностороннем треугольнике биссектрисы являются также медианами и высотами. Пусть биссектриса (она же медиана и высота), проведенная из вершины C, пересекает сторону AB в точке H. Найдем CH из прямоугольного треугольника ACH:

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, следовательно,

Приведем еще одно решение.

Воспользуемся приведенной в справочных материалах формулой, связывающий сторону правильного треугольника и радиус окружности, вписанной в этот треугольник: тогда

Решение. Заметим, что

значит,

Ответ: 15.

Приведем другое решение.

Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 15.

Решение. Треугольник ABC правильный, значит, все углы равны по 60°. Тогда

Ответ: 9.

Решение. В равностороннем треугольнике , а по условию . Поэтому длина стороны треугольника

Ответ: 12.

Решение. Треугольник ABC правильный, значит, все углы равны по 60°. По теореме синусов: значит

Ответ: 6.

Решение. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: поэтому

Ответ: 4.

Решение. Так как хорды AC и BD пересекаются в точке P, по свойству хорд: значит

Ответ: 25.

Решение. Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 72°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 54° = 36°.

Ответ: 36.

Примечание.

Читатели, знакомые с теоремой «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», могут решить эту задачу в одно действие: ∠ABC = 72° : 2 = 36°.

Решение. Пусть a — сторона квадрата. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен

Тогда сторона квадрата равна

Радиус вписанной окружности (r) равен половине стороны квадрата. Получаем:

Ответ: 44.