Решение. Сумма углов треугольника АВС равна 180°, поэтому угол ABC равен 180° − 30° − 50° = 100°. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°, поэтому 180° − 100° = 80°.

Ответ: 80.

Решение. Так как сумма односторонних углов трапеции равна 180°, в условии говорится о сумме углов при основании. Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны. Значит, каждый из них равен 70°. Сумма односторонних углов трапеции равна 180°, поэтому больший угол равен 180° − 70° = 110°.

Ответ: 110.

Решение. Пусть x — меньший угол трапеции, а 2x — больший угол. У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, поэтому их сумма равна x + 2x + x + 2x = 6x. Поскольку она равна 360°, находим: х = 60°.

Ответ: 60.

Решение. Так как KN — средняя линия трапеции, то KL и LN средние линии треугольников ABC и СAD соответственно.

,

Ответ: 5.

Решение. Сумма углов треугольника ACD равна 180°, поэтому . Так как основания трапеции параллельны, углы CAD и BCA равны как накрестлежащие. Так как трапеция равнобедренная, сумма её противоположных углов равна 180°, поэтому .

Ответ: 110.

Решение. Поскольку угол С равен 135°, а сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°, угол А равен 45°.

Ответ: 45.

Решение. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Имеем:

Ответ: 17.

Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке. Проведём высоту Заметим, что Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Следовательно, АВ:  АС = 5:6. Тогда

Поэтому большее основание трапеции равно

Ответ: 33.

Решение. Углы BCA и CAD равны как накрест лежащие, то есть

В равнобедренной трапеции углы при основании равны:

Ответ: 120.

Решение. Площадь трапеции вычисляется по формуле

где a и b — основания, а h — высота трапеции. Найдём высоту: следовательно,

Ответ: 15.

Решение. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Угол ABC — тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠ABC — больший угол равнобедренной трапеции. Углы CAD и BCA равны как накрест лежащие. Тогда:

Ответ: 115.

Решение. Проведём вторую высоту и введём обозначения, как показано на рисунке. Треугольник ABH — прямоугольный, угол углы BAH и ABH равны, следовательно, треугольник ABH — равнобедренный, В четырёхугольнике HBCK И следовательно, он параллелограмм. Угол значит, HBCK — прямоугольник, откуда и Поскольку трапеция равнобедренная, углы BAH и CDK равны. Треугольники ABH и CDK прямоугольные, следовательно, эти треугольники равны, откуда Большее основание трапеции

Ответ: 16.

Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке. MN — средняя линия, поэтому, откуда по теореме Фалеса Рассмотрим треугольник ABD MK — средняя линия, следовательно,

Ответ: 5.

Решение. Пусть углы трапеции равны и угол Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°: откуда Сумма смежных углов в трапеции равна 180°, следовательно, Тем самым, три неизвестных угла равны 49°, 131° и 131°.

Ответ: 49131131.

Решение. Пусть стороны трапеции равны a, b, c, d. В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: a + c = b + d = 24. Длина средней линии равна полусумме длин оснований: 24/2 = 12.

Ответ: 12.

Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке. Сумма смежных углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180°, следовательно:

Рассмотрим треугольник ABF, сумма углов треугольника равна 180°, поэтому то есть треугольник ABF — прямоугольный. Найдём AB по теореме Пифагора:

Ответ: 40.

Решение. Проведём высоту и введём обозначения, как показано на рисунке.

По условию: BC = CH = AH = 58.

Треугольник HCD прямоугольный, следовательно:

Таким образом,

Ответ: 203.

Решение. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, значит,

Получаем, что треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F . По теореме Пифагора находим AB:

Ответ: 25.

Решение. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°:

поэтому

Ответ: 99.

Решение. Если в трапецию можно вписать окружность, то суммы её противолежащих сторон равны: поэтому

Ответ: 14.

Решение. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому средняя линия равна

Ответ: 6.

Решение. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому

Ответ: 35.

Решение. Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны. Так как сумма односторонних углов трапеции равна 180°, то больший угол в трапеции

Ответ: 114.

Решение. Сумма углов в трапеции равна 360°, значит, больший угол равен 360° - 90° - 90° - 64° =116°.

Ответ: 116.

Решение. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам:  — вертикальные,  — накрест лежащие углы при секущей BD, BC и AD параллельны. Из подобия треугольников: представив получим поэтому

Ответ: 14.