Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB тра­пе­ции ABCD. До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ECD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

Про­ве­дем от­ре­зок EF па­рал­лель­но ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции, точка F лежит на сто­ро­не CD. От­ре­зок EF  — сред­няя линия тра­пе­ции ABCD, зна­чит, вы­со­ты тре­уголь­ни­ков EFD и CEF , про­ве­ден­ные к сто­ро­не EF , равны между собой и равны по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции h. Имеем

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Про­ве­дем EF па­рал­лель­но По­сколь­ку и по тео­ре­ме Фа­ле­са по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, EF  — сред­няя линия. Пусть h  — длина вы­со­ты тра­пе­ции. Пло­щадь тра­пе­ции равна:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Про­дол­жим СE до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AD в точке K. За­ме­тим, что в тре­уголь­ни­ках KAE и BCE сто­ро­ны AE и BE равны по усло­вию, углы при вер­ши­не E равны как вер­ти­каль­ные, а углы EAK и CBE равны как на­крест ле­жа­щие. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки KAE и BCE равны.

Сле­до­ва­тель­но, их пло­ща­ди равны, то есть пло­щадь тра­пе­ции равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка CDK. Но из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков также вы­те­ка­ет, что KE  =  CE, то есть DE  — ме­ди­а­на в тре­уголь­ни­ке CDK. Тогда тре­уголь­ник DEC по пло­ща­ди со­ста­вит по­ло­ви­ну тре­уголь­ни­ка CDK, а зна­чит, и дан­ной тра­пе­ции.