РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 16 № 472388 Добавить в вариант

Окружность, круг и их элементы. Окружность, вписанная в многоугольник

Диагональ AC ромба ABCD равна 32, а $тангенс \angle BCA = 0,75.$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение. Проведем отрезок OH  — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике OHC катет OH равен $CH умножить на тангенс \angle BCA,$ а гипотенуза $OC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC = 16.$ По теореме Пифагора получим:

$CH в квадрате плюс OH в квадрате = OC в квадрате равносильно CH в квадрате плюс CH в квадрате умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 16 в квадрате равносильно$
$равносильно CH в квадрате плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби CH в квадрате = 256 равносильно дробь: числитель: 25, знаменатель: 16 конец дроби CH в квадрате = 256 равносильно CH в квадрате = дробь: числитель: 4 в квадрате умножить на 16 в квадрате , знаменатель: 5 в квадрате конец дроби$ $CH в квадрате плюс OH в квадрате = OC в квадрате равносильно CH в квадрате плюс CH в квадрате умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 16 в квадрате равносильно$
$равносильно CH в квадрате плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби CH в квадрате = 256 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 25, знаменатель: 16 конец дроби CH в квадрате = 256 равносильно CH в квадрате = дробь: числитель: 4 в квадрате умножить на 16 в квадрате , знаменатель: 5 в квадрате конец дроби$

откуда $CH = дробь: числитель: 4 умножить на 16, знаменатель: 5 конец дроби = 12,8.$ Следовательно, радиус вписанной окружности OH равен  $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 12,8 = 9,6.$

Ответ: 9,6.

Приведем другое решение.

В прямоугольном треугольнике BOC:

$OB = OC умножить на тангенс \angle BCA = 16 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = 12.$

По теореме Пифагора получим:

$BC = корень из: начало аргумента: OB в квадрате плюс OC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 12 в квадрате плюс 16 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 400 конец аргумента = 20.$

Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, вычисляется по формуле:

$OH = дробь: числитель: OB умножить на OC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на 16, знаменатель: 20 конец дроби = 9,6.$

Ответ: 9,6

472388

9,6

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	472388	9,6