РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 16 № 472385 Добавить в вариант

Окружность, круг и их элементы. Окружность, вписанная в многоугольник

Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а $тангенс \angle BCA = дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби .$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение. Проведем отрезок OH  — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике OHC катет OH равен $CH умножить на тангенс \angle BCA,$ а гипотенуза $OC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC = 24.$ По теореме Пифагора получим:

$CH в квадрате плюс OH в квадрате = OC в квадрате равносильно CH в квадрате плюс CH в квадрате умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 24 в квадрате равносильно$
$равносильно CH в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 576 конец дроби CH в квадрате = 576 равносильно дробь: числитель: 625, знаменатель: 576 конец дроби CH в квадрате = 576 равносильно CH в квадрате = дробь: числитель: 576 в квадрате , знаменатель: 625 конец дроби ,$ $CH в квадрате плюс OH в квадрате = OC в квадрате равносильно CH в квадрате плюс CH в квадрате умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 24 в квадрате равносильно$
$равносильно CH в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 576 конец дроби CH в квадрате = 576 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 625, знаменатель: 576 конец дроби CH в квадрате = 576 равносильно CH в квадрате = дробь: числитель: 576 в квадрате , знаменатель: 625 конец дроби ,$

откуда $CH = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби .$ Следовательно, радиус вписанной окружности OH равен

$дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: 168, знаменатель: 25 конец дроби = 6,72.$

Ответ: 6,72.

Приведем другое решение.

В прямоугольном треугольнике BOC:

$OB = OC умножить на тангенс \angle BCA = 24 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби = 7.$

По теореме Пифагора получим:

$BC = корень из: начало аргумента: OB в квадрате плюс OC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 7 в квадрате плюс 24 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 625 конец аргумента = 25.$

Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, вычисляется по формуле:

$OH = дробь: числитель: OB умножить на OC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 7 умножить на 24, знаменатель: 25 конец дроби = 6,72.$

Ответ: 6,72

472385

6,72

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	472385	6,72