РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 461855 Добавить в вариант

Источник: ОГЭ по математике 03.06.2025. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 2508

Геометрические задачи повышенной сложности. Четырёхугольники

Четырехугольник ABCD со сторонами AB  =  39 и CD = 12 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем $\angle AKB=60 градусов.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Решение. Проведем через точку D прямую, параллельную диагонали $AC.$ Дуги AL и CD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды: $AL = CD = 12.$

Вертикальные углы AKB и CKD равны. Углы CKD и LDK равны как накрест лежащие: $\angle CKD =\angle LDK = 60 градусов.$

Четырехугольник ABDL вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда $\angle LAB = 180 градусов минус \angle LDK = 180 градусов минус 60 градусов = 120 градусов.$

Рассмотрим треугольник $ABL.$ По теореме косинусов:

$BL= корень из: начало аргумента: AL в квадрате плюс AB в квадрате минус 2AL умножить на AB косинус 120 градусов конец аргумента = корень из: начало аргумента: 144 плюс 1521 минус 2 умножить на 12 умножить на 39 умножить на косинус 120 градусов конец аргумента = корень из: начало аргумента: 2133 конец аргумента .$ $BL= корень из: начало аргумента: AL в квадрате плюс AB в квадрате минус 2AL умножить на AB косинус 120 градусов конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 144 плюс 1521 минус 2 умножить на 12 умножить на 39 умножить на косинус 120 градусов конец аргумента = корень из: начало аргумента: 2133 конец аргумента .$

Найдем радиус описанной вокруг треугольника ABL окружности по теореме синусов: $R = дробь: числитель: BL, знаменатель: 2 синус \angle BAL конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2133 конец аргумента , знаменатель: 2 синус 120 градусов конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2133 конец аргумента , знаменатель: 2 синус 60 градусов конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2133 конец аргумента , знаменатель: 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2133, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: 711 конец аргумента .$

Ответ: $корень из: начало аргумента: 711 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Источник: ОГЭ по математике 03.06.2025. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 2508

Ключ