РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 353225 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.4 Окружность и круг;

Подобие;

Углы в окружностях.

Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB  =  28, AC  =  56, точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Решение. Проведем построения, как показано на рисунке. Угол ABE  — вписанный и опирается на диаметр, значит, угол ABE  — прямой. Рассмотрим треугольники AEB и ABF, они прямоугольные, угол BAE  — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда:

$дробь: числитель: AE, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: AF конец дроби равносильно AB в квадрате =AE умножить на AF.$

Угол ECA  — вписанный и опирается на диаметр, следовательно, он прямой. Рассмотрим треугольники AEC и AFD, они прямоугольные, угол FAD  — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда

$дробь: числитель: AE, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: AF конец дроби равносильно AD=AE умножить на дробь: числитель: AF, знаменатель: AC конец дроби .$

Подставляя выше найденное равенство:

$AD= дробь: числитель: AB в квадрате , знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 28 в квадрате , знаменатель: 56 конец дроби =14,$

$CD=AC минус AD=56 минус 14=42.$

Ответ: 42.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2