PDF-версии: 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 62°, 57° и 61°.
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке (∠MKP = 62°, ∠KPM = 57°, ∠PMK = 61°). Отрезки касательных, проведенные из одной точки равны, поэтому
Следовательно, треугольники MBK, AMP, KPC — равнобедренные, поэтому в каждом треугольнике углы при основании равны. Угол MPK — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол BMK образован хордой и касательной, следовательно, он равен половине величины дуги, которую заключает. Значит, 
Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол ABC:
Аналогично, из треугольников AMP и PKC получаем, 
Ответ: 66°; 56°; 58°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |