Тип 25 № 352889 
Источник: Банк заданий ФИПИ
Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей
i
Середина M стороны AD выпуклого четырехугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 19, а углы B и C четырехугольника равны соответственно 95° и 115°.
Решение. 
Поскольку существует точка, равноудаленная от всех вершин четырехугольника, четырехугольник можно вписать в окружность. Четырехугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противоположных углов равны 180°:
Отрезки 
и CM равны как радиусы окружности, поэтому треугольники ABM и BMC — равнобедренные, откуда 
и 
Рассмотрим треугольник BMC, сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда 
По теореме синусов найдем сторону BM из треугольника 
Сторона AD — диаметр описанной окружности, поэтому 
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: Источник: Банк заданий ФИПИ
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем