РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 352023 Добавить в вариант

Раздел кодификатора ФИПИ:

Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 45, тангенс угла BAC равен $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$ Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Решение. Угол BAC равен углу BCP так как $\angle BAC=90 градусов минус \angle ABC$ и $\angle BCP=90 градусов минус \angle ABC.$ Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: $тангенс \angle BCP= дробь: числитель: BP, знаменатель: PC конец дроби равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: BP, знаменатель: PC конец дроби .$ Тогда $BP=3x, PC=4x,$ а гипотенуза $BC=5x$ по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BP умножить на PC= дробь: числитель: P умножить на r_1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 6x в квадрате =6x умножить на 45 равносильно совокупность выражений x=45, x=0. конец совокупности .$

Таким образом, $BP=135, PC=180,$ а $BC=225.$ Так как $тангенс \angle BAC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,$ то $AC=300,$ а $AB=375$ по теореме Пифагора.

В треугольнике ABC площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

$S= дробь: числитель: P умножить на r, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 225 умножить на 300= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 900 умножить на r равносильно r=75.$

Ответ: $r=75.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Ответ: $r=75.$

352023

$r=75.$

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.4 Окружность и круг;

Подобие.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	352023	$r=75.$