PDF-версии: 
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение. Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому 
— биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдем 
Отрезки 
и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть 
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда 
Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем 
а из равенства треугольников BOL и BOM — 
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма:
Площадь параллелограмма равна: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |