РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 348801 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.3 Многоугольники;

Теорема косинусов;

Теорема синусов.

Геометрические задачи повышенной сложности. Четырёхугольники

Четырехугольник ABCD со сторонами AB  =  40 и CD  =  10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем $\angle AKB=60 градусов.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Решение. Проведем через точку D прямую, параллельную диагонали AC. Дуги AL и CD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды: $AL = CD = 10.$

Вертикальные углы AKB и CKD равны. Углы CKD и LDK равны как накрест лежащие: $\angle CKD =\angle LDK = 60 градусов.$

Четырехугольник ABDL вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда

$\angle LAB = 180 градусов минус \angle LDK = 180 градусов минус 60 градусов = 120 градусов.$ $\angle LAB = 180 градусов минус \angle LDK =$
$= 180 градусов минус 60 градусов = 120 градусов.$

Рассмотрим треугольник ABL. По теореме косинусов:

$BL= корень из: начало аргумента: AL в квадрате плюс AB в квадрате минус 2AL умножить на AB косинус 120 градусов конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 100 плюс 1600 минус 2 умножить на 10 умножить на 40 умножить на косинус 120 градусов конец аргумента = корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента .$ $BL= корень из: начало аргумента: AL в квадрате плюс AB в квадрате минус 2AL умножить на AB косинус 120 градусов конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 100 плюс 1600 минус 2 умножить на 10 умножить на 40 умножить на косинус 120 градусов конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента .$ $BL=$
$= корень из: начало аргумента: AL в квадрате плюс AB в квадрате минус 2AL умножить на AB косинус 120 градусов конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 100 плюс 1600 минус 2 умножить на 10 умножить на 40 умножить на косинус 120 градусов конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента .$

Найдем радиус описанной вокруг треугольника ABL окружности по теореме синусов:

$R = дробь: числитель: BL, знаменатель: 2 синус \angle BAL конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента , знаменатель: 2 синус 120 градусов конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента , знаменатель: 2 синус 60 градусов конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента , знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2100, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: 700 конец аргумента = 10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$ $R = дробь: числитель: BL, знаменатель: 2 синус \angle BAL конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента , знаменатель: 2 синус 120 градусов конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента , знаменатель: 2 синус 60 градусов конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента , знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2100, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: 700 конец аргумента = 10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$ $R = дробь: числитель: BL, знаменатель: 2 синус \angle BAL конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента , знаменатель: 2 синус 120 градусов конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента , знаменатель: 2 синус 60 градусов конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2100 конец аргумента , знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2100, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 700 конец аргумента = 10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Ответ: $10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Ответ: $10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

348801

$10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.3 Многоугольники;

Теорема косинусов;

Теорема синусов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	348801	$10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$