РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 339779 Добавить в вариант

Раздел кодификатора ФИПИ:

Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 5 и MB = 10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Решение. Угол ACD, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги AC. Угол ABC  — вписанный, поэтому он также равен половине дуги AC, на которую он опирается. Поэтому углы ABC и ACD равны.

В треугольниках ACD и CBD угол BDC общий, углы ABC и ACD равны. Cледовательно, эти треугольники подобны, откуда $дробь: числитель: CD, знаменатель: BD конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: AD, знаменатель: CD конец дроби .$

Биссектриса угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $дробь: числитель: AC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: AM, знаменатель: BM конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Получаем:

$AD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CD,BD= дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби CD,BD=AD плюс AB=AD плюс 5 плюс 10=AD плюс 15.$

Найдем CD:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби CD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CD плюс 15 равносильно CD левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =15 равносильно$
$равносильно CD дробь: числитель: 2 умножить на 2 минус 1 умножить на 1, знаменатель: 2 умножить на 1 конец дроби =15 равносильно CD= дробь: числитель: 15 умножить на 1 умножить на 2, знаменатель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно CD=10.$ $дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби CD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CD плюс 15 равносильно CD левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =15 равносильно$
$равносильно CD дробь: числитель: 2 умножить на 2 минус 1 умножить на 1, знаменатель: 2 умножить на 1 конец дроби =15 равносильно$
$равносильно CD= дробь: числитель: 15 умножить на 1 умножить на 2, знаменатель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно CD=10.$

Ответ: 10.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.	2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.	0
Максимальный балл	2

Ответ: 10.

339779

10.

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.4 Окружность и круг;

Подобие;

Свойства биссектрис.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	339779	10.