РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 339504 Добавить в вариант

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.4 Окружность и круг

Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 27, тангенс угла BAC равен $дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 40.$ Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение. Угол BAC равен углу BCP так как $\angle BAC=90 градусов минус \angle ABC$ и $\angle BCP=90 градусов минус \angle ABC.$ Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: $тангенс \angle BCP= дробь: числитель: BP, знаменатель: PC конец дроби равносильно дробь: числитель: 9, знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: BP, знаменатель: PC конец дроби .$ Тогда $BP=9x, PC=40x,$ а гипотенуза $BC=41x$ по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BP умножить на PC= дробь: числитель: P умножить на r_1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 180x в квадрате =45x умножить на 27 равносильно совокупность выражений x=6,75, x=0. конец совокупности .$

Таким образом, $BP=60,75,PC=270,$ а $BC=276,75.$ Так как $тангенс \angle BAC= дробь: числитель: 9, знаменатель: 40 конец дроби ,$ то $AC=1230,$ а $AB=1260,75$ по теореме Пифагора.

В треугольнике ABC площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

$S= дробь: числитель: P умножить на r, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 276,75 умножить на 1230= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2767,5 умножить на r равносильно r=123.$

Ответ: $r=123.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.	2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $r=123.$

339504

$r=123.$

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.4 Окружность и круг

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	339504	$r=123.$