Ре­ше­ние. Рас­смот­рим угол

Сле­до­ва­тель­но тан­ген­сы углов ACP и ABC равны.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник APC, тан­генс угла  — это от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, сле­до­ва­тель­но:

Пусть CP  — тогда AP равно и, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, ги­по­те­ну­за AC  —

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как про­из­ве­де­ние его по­лу­пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка также можно найти пло­щадь, как по­лу­про­из­ве­де­ние ка­те­тов. При­рав­няв эти вы­ра­же­ния, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень ноль не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Сле­до­ва­тель­но, Най­дем BC из тре­уголь­ни­ка

Най­дем AB по тео­рем Пи­фа­го­ра:

Как и в тре­уголь­ни­ке APC, в тре­уголь­ни­ке ABC можно найти пло­щадь двумя спо­со­ба­ми. Со­ста­вим урав­не­ние и най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник

Ответ: 13.