РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 314866 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ:

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.

Решение. Пусть площадь треугольника ABC равна S. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому $S_ABM=S_BMC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S.$ Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:

$дробь: числитель: S_ABP, знаменатель: S_APC конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Откуда $S_ABP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S,$ $S_APC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби S.$ Рассмотрим треугольник ABM: AK  — биссектриса, следовательно:

$дробь: числитель: S_ABK, знаменатель: S_AKM конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: AM конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Откуда $S_ABK= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби S_ABM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби S,$ $S_AKM= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби S_ABM= дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 конец дроби S.$ Выразим площадь треугольника BPK:

$S_BPK=S_ABP минус S_ABK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби S.$

Найдем отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM:

$дробь: числитель: S_ABK, знаменатель: S_KPCM конец дроби = дробь: числитель: S_ABK, знаменатель: S_BMC минус S_BPK конец дроби = дробь: числитель: \tfrac1, знаменатель: 5 конец дроби S\tfrac12S минус \tfrac120S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 20, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Ответ: $дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби .$

314866

$дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби .$

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ:

Отношение отрезков;

Свойства биссектрис.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	314866	$дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби .$