РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип Д12 № 314474 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Арифметические и геометрические прогрессии. Арифметическая прогрессия

Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 496?

Решение. Для ответа на вопрос задачи требуется найти такое наименьшее n, что $1 плюс 2 плюс 3 плюс ... плюс n больше 496.$ Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=1$ и разностью $d=1.$ Cумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n= дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n,$

в нашем случае

$S_n= дробь: числитель: 2 умножить на 1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на 1, знаменатель: 2 конец дроби n= дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби n.$

Найдем наибольшее натуральное решение неравенства $S_n больше 496.$ Для этого найдем корни уравнения

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка n=496 равносильно n в квадрате плюс n минус 992=0.$

Вычислим дискриминант:

$D=b в квадрате минус 4ac=1 плюс 4 умножить на 992=3969=63 в квадрате ,$

откуда получаем:

$совокупность выражений n= дробь: числитель: минус 1 плюс 63, знаменатель: 2 конец дроби ,n= дробь: числитель: минус 1 минус 63, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений n=31, n= минус 32. конец совокупности .$

Таким образом, при $n=31$ сумма 31 слагаемого равна 496. Следовательно, наименьшее натуральное число, для которого сумма будет больше 496, равно 32.

Ответ: 32.

Примечание.

Можно заметить, что $n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =992 равносильно n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =31 умножить на 32,$ откуда сразу же получаем: $n=31$ или $n= минус 32.$

Ответ: 32

314474

Источник: Банк заданий ФИПИ

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	314474	32